Trwają zapisy na kursy przygotowujące do testu 8-klasisty z matematyki! Sprawdź!

Blog

Wzory skróconego mnożenia – do czego się przydają?


9 minut czytania

W nauce matematyki do matury bardzo ważne są dwie sprawy. Pierwsza to zrozumienie matematycznych zagadnień, nie „wykucie ich na blachę”. Drugą jest ułatwianie sobie rozwiązywania zadań poprzez np. stosowanie matematycznych trików. Do nich można zaliczyć m.in. wzory skróconego mnożenia. Do czego się przydają i jak nauczyć się je wykorzystywać?

Do czego wykorzystuje się wzory skróconego mnożenia?

Wzory skróconego mnożenia to wzory matematyczne pomocne podczas mnożenia i potęgowania wyrażeń algebraicznych oraz znajdowania pierwiastków, a także rozwiązywania i przekształcania równań. Słowem – wzory skróconego mnożenia pozwalają przeprowadzać obliczenia szybko, sprawnie i poprawnie!

Wzorów skróconego mnożenia jest tak naprawdę wiele, ale na maturze z matematyki – podstawowej i rozszerzonej – przyda się tylko kilka najważniejszych. Nie trzeba też uczyć się ich na pamięć, gdyż są uwzględnione w udostępnianych na maturze tablicach wzorów. Najważniejsze to dobrze zrozumieć, jak zastosować takie wzory w praktyce! Oczywiście nie ma żadnego obowiązku ich wykorzystywania, natomiast zdecydowanie warto, bo znacznie przyspieszają obliczenia.

Które wzory skróconego mnożenia przydają się na maturze?

W tablicach matematycznych udostępnianych na maturze z matematyki znajdziemy kilka najważniejszych wzorów skróconego mnożenia – z podstawowym objaśnieniem możliwości ich zastosowania.

Wzory skróconego mnożenia z zastosowaniem kwadratu liczby

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń: (a+b)²= a²+2ab+b²

Oczywiście do policzenia kwadratu sumy nie trzeba bezwzględnie zastosować wzoru skróconego mnożenia, można też po prostu wymnożyć nawiasy, np. wyrażenie (x+2)² obliczyć można w ten sposób:

(x+2)²= (x+2)(x+2)= x²+2x+2x+4= x²+4x+4

Natomiast przy wykorzystaniu wzoru skróconego mnożenia, obliczenie się skraca:

(x+2)²= x²+2⋅x⋅2+4= x²+4x+4

Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń: (ab)²= 2ab+

Wzór stosujemy analogicznie do wzoru na kwadrat sumy. Przykłady:

(x−1)²= x²−2x+1

(5x−2)²= (5x)²−2⋅5x⋅2+4= 25x²−20x+4

Te dwa przydatne wzory mają także zastosowanie do kilku liczb, np. dla trzech:

(a+b+c)²= a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

(a+b-c)²= a²+b²+c²+2ab–2ac–2bc

(a–b+c)²= a²+b²+c²–2ab+2ac–2bc

(a–b–c)²= a²+b²+c²–2ab–2ac+2bc

Różnica kwadratów dwóch wyrażeń: a²= (ab)(a+b)

Przykłady:

x²−4= x²−2²= (x−2)(x+2)

x²−49= x²−7²= (x−7)(x+7)

Wzory skróconego mnożenia z zastosowaniem sześcianu liczby

Różnica sześcianów dwóch wyrażeń: a³= (ab)(+ab+)

Przykład:

x³−8= x³−2³= (x−2)(x³+2x+4)

Suma sześcianów dwóch wyrażeń: += (a+b)(ab+)

Przykład:

x³+8= x³+2³= (x+2)(x²−2x+4)

Sześcian sumy dwóch wyrażeń: (a+b)³= +3a²b+3ab²+

Przykład:

(x+2)³= x³+6x²+12x+8

Sześcian różnicy dwóch wyrażeń: (ab)³= 3a²b+3ab²

Przykład:

(x−3)³= x³−9x²+27x−27

Jakie zadania na maturze wymagają stosowania wzorów skróconego mnożenia?

Zadania wymagające zastosowania wzorów skróconego mnożenia pojawiają się na maturze często zarówno w postaci pytań zamkniętych, jak i otwartych. Oczywiście w żadnym z zadań nie znajdziemy podpowiedzi, by te wzory wykorzystać, więc warto dobrze zrozumieć, w jakich typach obliczeń będą pomocne, i dużo ćwiczyć – np. rozwiązywać arkusze maturalne z lat poprzednich.

Matura i wzory skróconego mnożenia: przykłady zadań zamkniętych

  1. Wyrażenie 16x²−24x+9 jest dla każdej rzeczywistej liczby x równe:
  1. (4x−3)(4x+3)(4x−3)(4x+3)
  2. (16x−3)(x+3)(16x−3)(x+3)
  3. (4x−3)(4x−3)(4x−3)(4x−3)
  4. (16x−3)(x−3)
  1. Wyrażenie x(x−1)(x+1) jest równe:
  1. (x–1)³
  2. x³–1
  3. x³–x

Matura i wzory skróconego mnożenia: przykłady zadań otwartych

  1. Uzasadnij, że jeśli (a²+b²)(c²+d²)= (ac+bd)², to ad=bc.
  2. Liczby a, b, k są całkowite i k jest różna od zera. Wykaż, że jeśli liczby a+b oraz a⋅b są podzielne przez k, to liczba a³−b³ też jest podzielna przez k.

Jak nauczyć się wykorzystywać wzory skróconego mnożenia na maturze?

Wzory skróconego mnożenia są na maturze dostępne w tablicach matematycznych, ale to za mało, aby poprawnie rozwiązać związane z nimi zadania, a te mogą nawet przełożyć się na kilka czy kilkanaście punktów z egzaminu więcej. Przede wszystkim trzeba zrozumieć, w jakich typach obliczeń te wzory się przydadzą.

Wzorom skróconego mnożenia poświęcamy dużo czasu na kursach przygotowujących do matury z matematyki. Szkolenia Gigantów Edukacji to gwarancja świetnie zdanego egzaminu maturalnego – nasi uczniowie średnio uzyskują 84% z poziomu podstawowego i 80% z rozszerzonego, dzięki czemu mają szansę dostać się na wymarzone studia. Poza samą powtórką do matury zależy nam również na zrozumieniu przez naszych uczniów matematyki, co jest taką podstawą kształcenia na kierunkach matematycznych, ekonomicznych i bankowych.

Jak przebiega kurs przygotowawczy do matury z matematyki z Gigantami Edukacji?

Chcesz wiedzieć jak zdać maturę z matematyki na poziomie podstawowym? Organizujemy kursy roczne i dwuletnie, stacjonarne i organizowane online oraz przygotowujące do matury podstawowej i rozszerzonej. Nasze kursy opracowują egzaminatorzy, a prowadzą doświadczeni nauczyciele matematyki. Kurs kosztuje 1900 zł i składa się z 56 lekcji (34 zł za jedną lekcję). W trakcie kursu rozwiązujemy aż 8 arkuszy egzaminacyjnych.

Zajęcia odbywają się w niewielkich grupach, które – również w wariancie online – prowadzi nauczyciel. Uczniowie w każdym momencie zajęć mogą zadawać pytania i otrzymują indywidualną pomoc. Nauczyciel na bieżąco monitoruje postępy uczniów i dostosowuje poziom zajęć do ich potrzeb. Tuż przed egzaminem każdy uczeń może skorzystać z bezpłatnych, prywatnych konsultacji, a nauczyciel pozostaje do dyspozycji swoich podopiecznych także po zajęciach.

Celem kursów Gigantów Edukacji jest opanowanie przez uczniów całego materiału wymaganego na maturze, poszerzenie wiedzy i zrozumienie matematyki, ale także oswojenie się z formą egzaminu (co przekłada się na większą pewność siebie i mniejszy stres) oraz zdobycie umiejętności zarządzania czasem na egzaminie.

Jak wyglądają zajęcia na kursie do matury z Gigantami Edukacji?

Każde zajęcia rozpoczynają się od przypomnienia materiału, który omawiany był na poprzedniej lekcji. Prowadzący zajęcia krótko podsumowuje teorię związaną z danym zagadnieniem czy problemem matematycznym, upewniając się jednocześnie, że jest ona zrozumiała dla uczniów, i kładąc nacisk na powiązane z nią zadania pojawiające się na maturze (np. właśnie wyrażenia algebraiczne).

Po krótkim wstępie pozostałą część zajęć nauczyciel przeznacza na rozwiązywanie zadań, które omawiane są aż do momentu, w którym każdy uczeń potrafi samodzielnie je rozwiązać. Po zajęciach uczestnicy otrzymują nagranie z zajęć i pakiet zadań do przećwiczenia w domu.

Kurs online jest prowadzony przez komunikator internetowy i ma dokładnie taki sam przebieg, jak zajęcia stacjonarne – uczniowie wchodzą w interakcje z nauczycielem, który udostępnia prezentacje i tablicę, z której korzysta się tak samo jak w szkole.

Zapraszamy!

 

Warsztaty z matematyki

 

FAQ:

Czym są wzory skróconego mnożenia?

Wzory skróconego mnożenia to wzory matematyczne pomocne podczas mnożenia i potęgowania wyrażeń algebraicznych. Jest ich wiele, ale najważniejsze z nich to: kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnica kwadratów, sześcian sumy, sześcian różnicy, suma sześcianów i różnica sześcianów.

Czy wzory skróconego mnożenia trzeba znać do matury z matematyki?

Wzory skróconego mnożenia są dostępne w tablicach, które maturzyści otrzymują przed rozpoczęciem egzaminu. Nie trzeba znać ich na pamięć, ale warto rozumieć, w jakiego typu obliczeniach są przydatne.

Jak nauczyć się wzorów skróconego mnożenia?

Wzorów skróconego mnożenia najlepiej uczyć się w praktyce, rozwiązując zadania z nimi związane. Warto zapisać się na kurs przygotowujący do matury, np. Gigantów Edukacji, podczas którego uczniowie powtarzają cały materiał i rozwiązują pod okiem nauczyciela ćwiczenia i arkusze maturalne. 


Poprzedni Następny

Ocena użytkowników: 5 / 5

Podobne artykuły

Blog

Jakie kompetencje i kwalifikacje trzeba posiadać, aby pracować w księgowości?

Zawód księgowego, z punktu widzenia statusu formalnego, istnieje już od XIX wieku, a choć księgi rachunkowe zmieniły się w cyfrowe...

Czytaj więcej
Blog

Jak efektywnie uczyć się matematyki?

Matematyka, tak jak zresztą większość przedmiotów ścisłych, jest dość specyficzna, bo nie da się jej „wykuć na blachę”, ale trzeba ją...

Czytaj więcej

Matematyka bez tajemnic

Zapisz się na kurs

Ta strona używa plików Cookies. Dowiedz się więcej o celu ich używania i możliwości zmiany ustawień Cookies w przeglądarce.

Zapoznałem się i wyrażam zgodę na przetwarzanie moich danych